Handout zur Kurvendiskussion
folgende Punkte müssen bei einer Kurvendiskussion abgearbeitet werden:
1. Definitionsmenge
Sollte die Definitionsmenge noch nicht in der Angabe eingeschränkt sein, so mußt du dir überlegen, für welche x-Werte die Funktion definiert ist. (diesen Schritt sollte man stets zuerst machen) Die häufigsten Punkte, die außerhalb der Definitionsmenge liegen sind, wenn der Nenner eines Bruches Null wird, oder der Tangens (der selbst ein Bruch ist) eine Unstetigkeitsstelle hat.Achtung: z.B. f(x) = x / x ist für x = 0 nicht definiert!
2. Stetigkeit
Auf welchen Intervallen ist die Funktion stetig? Grundsätzlich kann keine Definitionslücke (vgl. 1.) in diesen Intervallen liegen (=> offene Intervallgrenze bei den Definitionslücken). Desweiteren, muß man x-Werte finden, bei denen die Funktion einen Sprung hat. Dies ist meist bei abschnittsweise definierten Funktionen der Fall.Bei diesen Unstetigkeitsstellen muß noch untersucht werden, ob sie behebbar sind (z.B. wenn bei einem Bruch Nenner und Zähler gleich Null sind). So ist die Funktion f(x) = x / x stetig behebbar durch f(0) = 1.
3. Wertemenge
Alle Werte, die die Funktion auf dem Definitionsbereich annehmen kann. Man muß also auf allen stetigen Intervallen die Hoch- und Tiefpunkte untersuchen. Das Intervall aller y-Werte die größer oder gleich dem Y-Wert des Tiefpunktes, bzw. kleiner oder gleich dem des Hochpunktes ist, ist die Wertemenge dieses Intervalls (an x-Werten). Die gesuchte Wertemenge sind alle diese Wertemengen zusammengefaßt und die "isolierten Punkte" dazugenommen. Man sollte aber zuvor Punkt 5 abarbeiten.4. Nullstellen (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen)
Dies ist meist der einfachste Teil der Kurvendiskussion. Man muß einfach f(x) gleich Null setzen. Man bekommt eine Menge von Punkten, an denen die Funktion die x-Achse schneidet. Ist ausdrücklich nach den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen gefragt, so muß man noch x=0 setzen und der dann erhaltene Wert ist der Y-Achsenabschnitt - der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0/y).5. Monotonieverhalten
Auf den Intervallen, auf denen die erste Ableitung größer gleich Null ist, ist die Funktion monoton steigend. ist die erste Ableitung kleiner gleich Null, so ist die funktion dort monoton fallend. Gilt statt größer/kleiner gleich echt größer/kleiner, so folgt daraus eine strenge Monotonie. Um diese Intervalle zu finden, muß man die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen und dann die Intervalle dazwischen betrachten.6. Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches
Man muß jeweils den rechts- und linksseitigen Grenzwert an alle Definitionslücken und den Grenzwert gegen Plus- und Minus Unendlich (sofern sie in der Definitionsmenge liegen).7. Asymptoten (Polstellen)
7.1 senkrechte Asymptoten
Sie können nur bei Definitionslücken auftreten. Der X-Wert dieser Asymptote liegt außerhalb des Definitionsbereiches (aber direkt "an" der Grenze). Sie treten auf, wenn ein Bruch im Nenner null wird. Also muß man einfach den Nenner des Bruches gleich Null setzen und danach überprüfen, daß diese Stelle tatsächlich eine Polstelle ist (vgl. 2.), also nicht der Zähler auch gleich Null wird.7.2 waagrechte Asymptoten
Diese Asymptoten können auftreten man wenn man in 6. den Grenzwert gegen Plus oder Minus Unendlich bildet und einen Wert herausbeommen hat (und die Funktion gleichmäßig gegen ihn konvergiert, also sich streng monoton gegen den Wert steigt oder fällt und immer kleiner bzw. größer als dieser Wert ist).7.3 schräge Asymptoten (selten gefordert)
Bekommt man bei 6. gegen Plus- und Minus Unendlich Plus- bzw. Minus Unendlich heraus, so besteht die Möglichkeit einer schrägen Asymptote. Geht der Grenzwert gegen eine Funktion der Form f(x) = mx + t, so ist dies die schräge Asymptote.8. Extrem- und Terrassenpunkte
Bei diesen Punkten ist die Steigung gleich Null. Also muß man die erste Ableitung gleich Null setzen. Nun bildet man den rechts- und linksseitigen Grenzwert der Nullstelle der 1. Ableitungen. Ist der linksseitige negativ und der rechtsseitige positiv, so handelt es sich um einen Tiefpunkt. Ist der linksseitige positiv und der rechtsseitige negativ, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Sind beide positiv oder negativ, so handelt es sich um einen Terrassenpunkt. Die Hoch- und Tiefpunkte sind noch relative (lokale) Extrempunkt. Man muß sie noch mit der Wertemenge vergleichen und schauen, ob es sich auch um globale Extrema handelt (wenn es sich um den größten/kleinsten Wert der Wertemenge handelt). Gibt es isolierte Punkte, die den höchsten/niedrigsten Y-Wert annehmen, so sind ist dies der globale Hoch- bzw. Tiefpunkt.9. Wendepunkte und Krümmung
Ist die zweite Ableitung größer Null, so ist der Graph der Funktion linksgekrümmt, ist sie kleiner Null, so ist er rechtsgekrümmt. Hat die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so ändert sich bei diesem x-Wert die Krümmung und der Graph hat einen Wendepunkt.10. Symmetrie
10.1 Punktsymmetrie
Die Funktion ist symmetrisch zu einem Punkt mit den Koordinaten (X/Y), wenn die Gleichung f(x + X) - Y = -f(-x + X) + Y erfüllt ist. Normalerweise wird aber nach dem Spezialfall der Punktsymmetrie zum Ursprung gefragt. Hier muß die Gleichung f(-x) = -f(x) erfüllt sein.10.2 Achsensymmetrie
Ist die Funktion symmetrisch zu einer Achse parallel zur Y-Achse mit dem X-Wert X, so muß folgende Gleichung erfüllt sein: f(x + X) = f(-x + X). Hier lautet der häufige Spezialfall: f(x)=f(-x).Dieses Handout wurde für www.MARTIN2k.de geschrieben. E-Mail an den Autor. Die Direkt-URL lautet: http://www.martin2k.de/kurve.html